3.
Problemas resueltos
En esta sección daremos una
colección de problemas planteados en algunas de las olimpiadas matemáticas
antes citadas, incluyendo soluciones a los mismos:
3.
1.- Problemas de
1.- Sea 
y supongamos que existe un 
,tal que
para todo 
. ¿Es cierto entonces que 
para todo ?
(30/7/1994-Problema
1)
Solución
Supongamos
que no fuera cierto, esto es, que existiera un cierto para el cual 
.
Subdividimos el intervalo
en intervalos de la forma
, con 
, siendo 
la parte entera. Entonces
habrá un mínimo 
con tal que 
y en el intervalo existe un 
tal que. Por simetría en el razonamiento supongamos que 
. Puesto que estamos trabajando con una función continua en
un intervalo cerrado y acotado, , ó 
si el mínimo es 
, alcanzará el máximo
absoluto, y además, sabemos que este máximo es estrictamente mayor que 0. Sea 
y 
el mínimo punto del
intervalo en el que 
alcanza su máximo, que
existirá porque es continua.
Entonces por el teorema de Lagrange tendremos que existe un 
tal que 
, contradicción, por lo que para todo .
2.- Sea 
una función dada
por 
a) Prueba que alcanza su mínimo
y su máximo absoluto.
b) Determina todos los puntos 
tales que 
y determina para
cuáles de ellos alcanza un extremo relativo o absoluto.
(30/7/1994-Problema 2)
Solución
a) La
función es una función diferenciable, y por tanto continua, en el plano.
Puesto que f es una
función continua, en un círculo centrado en el origen y de radio 1 alcanzará su
máximo y su mínimo absoluto. Demostremos que en el complementario del círculo
la función está acotada entre [-1/e, 1/e]:
Es evidente, ya que 
, al ser 
. Por tanto,
como en el círculo de radio 1 se alcanzan los valores f(1,0)=1/e, f(0,-1)=-1/e,
la función alcanza su máximo y mínimo absoluto.
b) Calculemos ahora sus derivadas parciales:
.
Es fácil ver que éstas son iguales a 0 si y sólo si:
.
Basta con sustituir y encontrar el valor de f en cada punto para ver que:
f(1,0)=f(-1,0)=1/e
son máximos absolutos y que f(0,1)=f(0,-1)=-1/e son mínimos absolutos,
ya que f(0,0)=0. El punto (0,0) se
comprueba con la matriz Hessiana que es un punto de silla, esto es no es máximo
ni mínimo local ni absoluto.
Otra forma de hacerlo:
Vimos en la primera solución que (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)
y (0,0) son los puntos críticos de f.
Con la matriz Hessiana se puede ver que en (1,0), (-1,0) se alcanzan máximos
relativos, en (0,1), (0,-1) se alcanzan mínimos relativos y (0,0) es un punto
de silla. Vamos a ver que en (1,0), (-1,0)
f. alcanza su máximo absoluto,
y que en (0,1), (0,-1) f alcanza su mínimo absoluto, por lo que la
función alcanza su máximo y mínimo absoluto:
Para ello, hay que ver que 
, y
que 
.
La primera desigualdad es equivalente a 
. Entonces, como 
, basta con ver que 
. Si hacemos el cambio de variable 
, esta última desigualdad queda 
, luego basta con ver que 
para todo 
. Pero 
si 
, 
si 
, por lo que 
tiene el mínimo global
en el 1, y entonces 
, como queríamos.
La segunda desigualdad es equivalente a 
. Entonces, como 
, basta con ver que 
, es decir, que 
, lo que ya hemos visto para demostrar la primera
desigualdad.
3.- Sea 
una secuencia de números reales
positivos tales que 
.
Halla 
donde ln denota el logaritmo
neperiano.
(1997-Primer día, Problema 1)
Solución
es una suma
de Riemann de 
en 
, por lo que:
(En la última igualdad hemos aplicado la regla de L’Hopital
a la función 
)
4.- Supongamos que 
es convergente. ¿Son las siguientes
sumas también convergentes?
a)
b)
(1997-Primer día, Problema 2)
Solución
a) Sea 
y 
,
donde 
es la sucesión que debemos sumar.
Entonces 
para 
. (Ya que entre los términos 
y 
, se suman todos los términos entre 
y )
Como 
converge
,
donde 
, y
como 
, con
, al ser 
convergente, podemos ver que
, ya que 
Entonces la suma del apartado a) es convergente.
Otra forma de verlo es: Como 
y converge, por
lo que 
, y como 
, 
cuando 
, se cumple que:
, por lo que
b) No se cumple necesariamente: la suma 
con 
converge por el criterio de Leibniz
y la serie del apartado b) no
converge.
Otra forma de verlo:
Si agrupamos los términos con – y los que tienen +, la serie del apartado b) se
puede poner como 
. Operando ahora impares con pares, queda que esto último es
igual a:
. Esto es una serie de términos negativos, pero si
consideramos la serie correspondiente de términos positivos, queda que 
si 
, por lo que:
, serie divergente, por lo que por el criterio de comparación
es divergente, y
entonces la serie que nos dan es divergente.
5.- Sea M una
matriz invertible de dimensión 
,
representada, en bloques de la siguiente forma: 
,
y 
Demuestra que 
.
(1997-Segundo día, Problema 2)
Solución
6.- a) Sea la aplicación lineal 
del espacio 
de
matrices 
con entradas reales, esto es:
(1) 
para todo 
.
Prueba que existe una única matriz 
tal que 
para
toda 
b) Supongamos además de (1) que
(2) 
para todas 
.
Prueba que existe 
tal que 
para toda
(1997-Segundo día, Problema 4)
Solución
a) Primero probaremos que si C existe, entonces C es única. Después probaremos que la matriz existe.
i) C es única:
Sea 
una matriz cuyo elemento 
vale 1, y con todos los demás elementos 0
Supongamos que tenemos 
distintas matrices tales que 
Entonces:
Por tanto: 
. Esto
da una contradicción, así que hemos probado que C es única.
ii) C existe:
Sea
, con 
. Como es lineal:
b) Sabemos que 
.
Además, tenemos que
.
Entonces:
, por
lo que podemos concluir que:
, si 
,
y 
si 
,
luego 
y 
.
Otra forma de acabar: Como 
y para toda , tomando 
tenemos que
, para todo 
, luego los elementos de la diagonal de 
son iguales.
Por otro lado, tomando 
, tenemos que
, para todo , luego los elementos de fuera de la diagonal principal son 0
y 
7.- a) Sea 
una función continua.
Decimos que “cruza el eje” en si 
y en cualquier
entorno de existen 
con 
.
Da un ejemplo de una función continua que “cruce el eje”
infinitas veces.
(1997-Segundo día, Problema 6)
Solución
es continua
ya que 
es continua en (0,1] y
ya que 
está acotada, y es fácil ver que cruza el eje infinitas
veces, cada vez que 
, con 
: Si 
, se cumple que .
Además, para los tales que 
para algún 
, es decir, los tales que 
, se cumple que 
,
acercándose esos intervalos a 
cuando 
tiende a infinito. Por
otro lado, para los tales que 
para algún , es decir, los tales que 
, se cumple que 
,
acercándose también esos intervalos a cuando tiende a infinito. Por
tanto, en cualquier entorno de habrá puntos en los que
la función es positiva y otros en los que es negativa, como queríamos.
8.- La función 
es dos veces diferenciable con continuidad y
satisface que 
.
Prueba que existe un número real 
para el que 
(1998-Primer día, Problema 4)
Solución
Sea 
.
Como es dos veces diferenciable con continuidad, es continua.
En [0,1] la función alcanza un máximo y un mínimo.
Sea 
el punto donde se alcanza el máximo. Entonces si 
, se
cumple que 
. (Cabría la posibilidad también de que 
, pero en ese caso 
, como queríamos)
Sea 
un punto donde se alcanza el mínimo. Entonces
si 
, se
cumple que 
. (Cabe la posibilidad también de que 
, pero en ese caso 
, como queríamos)
Como dijimos antes, g(x)
es una función continua en [0,1], y g(x)<
. Si
aplicamos el teorema
de Bolzano, podemos asegurar que 
existe.
Notas:
1) No se han considerado los casos
en que el máximo se alcanza en 0 ó el mínimo en 1. En esos casos es importante
la condición de los valores de en los extremos, ya que, si quitamos por
ejemplo la condición 
, puede haber contraejemplos, como la función 
, que tiene el máximo en 
, el mínimo en 
, cumple las otras dos
condiciones 
, 
, pero
. Habrá que ver entonces cuando no hay máximo ó
mínimo relativo dentro del intervalo si también se cumple cuando se dan
las condiciones:
2) El problema propuesto en 
fuera una función
continua, sólo que existiera.
9.- Sea P un
polinomio de grado n que tiene sólo
raíces reales y coeficientes reales.
a) Prueba que para todo real x, se tiene la siguiente desigualdad:
b) Halla los casos en los que se alcanza la igualdad.
(1998-Primer día, Problema 5)
Solución
Sea 
.
Entonces 
será
, y 
es
.
Entonces la desigualdad se puede escribir como:
Ahora tenemos dos secuencias 
, así que si aplicamos la desigualdad de
Chebishev obtenemos:
, como queríamos.
La igualdad se alcanza si y sólo si 
, esto es si:
, 
.
Nota:
La desigualdad de Chebishev es una
consecuencia inmediata de la desigualdad de Reagrupamiento
10.- Sea 
una función continua con la propiedad
de que para todo x e y en el intervalo,
a) Demuestra que 
b) Encuentra una función que satisfaga la condición para la
que se alcance la igualdad.
(1998-Primer día, Problema 6)
Solución del apartado b)
La función 
, 
, efectivamente cumple las condiciones: si consideramos la
función 
, con , tenemos que para cualquier 
el máximo absoluto de
esa función es 1, ya que 
, teniéndose que:
,
,
Se cumple además que 
, al ser 
el área de un
cuarto de círculo de radio 1