3. 4.- Otros problemas
31.-
Sea 
un número real. Encontrar todas las funciones continuas 
tales que 
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Como 
es continua en 
, tenemos que 
es continua en , por lo que 
es derivable en por el teorema
fundamental del Cálculo, y entonces es derivable en (ya que es igual a
).
Por tanto, si
derivamos a los dos lados de 
, llegamos a 
y entonces 
, por lo que 
Pero si
sustituimos 
por 0 en la
ecuación inicial, tenemos que
. Sustituyendo ahora por 0 en las
funciones obtenidas, tenemos que 
, luego la solución es
.
32.- Sean 
, 
dos polinomios primos relativos con raíces 
, …, 
y 
, …, 
respectivamente.
Probar que 
es un entero y
determinar su valor
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Como 
, 
son primos
relativos no tienen ninguna raíz común, por lo que 
, y entonces la expresión está bien
definida.
Si factorizamos
ahora , , obtenemos 
, 
, luego
(El signo 
es porque hay 
factores de la forma 
: Tenemos 
factores 
,..., 
, ..., y tenemos factores 
,..., 
)
Observación
El resultado se puede generalizar a:
Sean , 
dos polinomios con raíces , …, y , …, 
respectivamente, y sin
raíces comunes. Entonces 
33.- Sea 
la
descomposición en factores primos de un natural 
tal que la suma
de sus divisores es 
. Probar que
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Si llamamos 
a la suma de
los divisores de , se sabe que:
, luego se puede escribir la condición como 
Entonces, si
multiplicamos por a los dos lados
de la primera desigualdad que hay que probar,
ésta queda:
Esto equivale a 
, es decir, 
Pero esta última
desigualdad es cierta al ser 
(ya que 
).
Si multiplicamos
ahora por a los dos lados
de la segunda desigualdad que hay que
probar, ésta queda:
.
Esto equivale a 
. Pero esta última desigualdad es cierta al ser 
Observaciones
1) El menor número que cumple la condición del enunciado es 154345556085770649600
2) Sólo se conocen 245 números que cumplan dicha condición. Se conjetura que no hay más.
34.-
Sean 
matrices del
mismo orden. Probar que 
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Suponemos que son matrices
cuadradas de orden 
.
Entonces,
haciendo 
, donde 
es la i-ésima
columna de 
, llegamos a 
.
Si hacemos ahora
, donde 
es la i-ésima
fila de la última matriz, obtenemos 
, donde 
es la matriz nula de
orden .
Por tanto 
35.- Sea 
una función
continua. Calcular 
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Como es una función continua,
para todo 
hay un
polinomio 
tal que 
para todo 
(teorema
de Stone-Weierstrass). Pero como es un polinomio, su serie de Fourier en 
converge uniformemente
a , por lo que existe un número 
tal que 
para todo , donde 
es la 
truncación de la serie
de Fourier de .
Por tanto, 
para todo , y entonces
(hemos aplicado la identidad 
en las dos
desigualdades).
Tenemos por tanto que:
, es decir:
. Esto es equivalente a:
Ahora, tenemos
que 
, donde 
es la unidad
imaginaria. Entonces, como 
cuando 
, llegamos a:
cuando para todo 
.
Pero al ser 
, tenemos que 
, 
cuando para todo , y así:
cuando . Esto implica que 
cuando para todo , y así:
cuando .
Tenemos por
tanto que 
, por lo que 
para todo y entonces:
. De la misma forma se puede ver que 
.
Como
consecuencia, 
36.- Sea 
el n-ésimo número de
Fibonacci. Probar que no puede ser
expresado como producto de dos números de Fibonacci mayores que 1
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Vemos primero
que 
si 
y 
, suponiendo que 
es el mínimo entre 
:
Para verlo,
expresamos de forma
explícita como 
, donde 
Por tanto, si 
tenemos que
si y sólo si
Pero el lado izquierdo de esta desigualdad es mayor ó igual que
(ya que
y todos los exponentes de 
en el lado
derecho de la desigualdad son mayores que 
). Ahora, es positivo si y sólo si 
(ya que 
).
Por tanto,
si 
, 
en este caso.
Si 
tenemos que
si y sólo si
Pero el lado izquierdo de esta desigualdad es mayor ó igual que
(ya que
y todos los exponentes de en el lado derecho de la desigualdad
son mayores ó iguales que ). Ahora, 
es positivo si
y sólo si 
.
Por tanto,
si 
, 
en este caso. Pero para 
tenemos que 
, y por tanto 
. Entonces, si 
, como 
, llegamos a que 
, contradicción con que 
es estrictamente creciente si 
. Para 
tenemos que 
, y por tanto ó 
. Entonces, si 
, como , llegamos a que 
, contradicción con que es creciente. Si 
, como 
, llegamos a que 
y entonces , contradicción con que es estrictamente creciente si . Por tanto, si .
Si 
tenemos que
si y sólo si
Pero el lado izquierdo de esta desigualdad es mayor ó igual que
(ya que
y todos los exponentes de en el lado
derecho de la desigualdad son mayores ó iguales que 
). Ahora, es positivo si
y sólo si 
. Por tanto, si
, en este caso.
Entonces, si 
con 
, será 
, y por tanto . Podemos además suponer sin pérdida de generalidad
que 
. Por lo visto anteriormente, esto implica que 
, luego 
, contradicción. Por consiguiente, 
no puede ser expresado como producto de
dos números de Fibonacci 
, con
37.- Calcular el 
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Se cumple que 
Vemos ahora que 
para todo . Para ver esto, probamos primero que:
para 
, donde 
es la parte entera.
Esta desigualdad equivale a:
, es decir, 
.
Pero como la
función 
es creciente si 
, tenemos que el mínimo de 
con se alcanza para 
, por lo que:
(al ser 
)
Esto implica que:
si es par, y:
si es impar, por
lo que
en cualquier caso.
Vemos ahora que 
para . Esta desigualdad equivale a:
, es decir:
. Pero como el máximo de la función se alcanza en 
, tenemos que
como queríamos.
Esto implica que:
si es par, y:
si es impar, por
lo que
en cualquier caso.
Tenemos entonces que:
, con 
(hemos aplicado
la equivalencia 
si 
en la primera
igualdad).
Por tanto, 
(Sandwich),
con lo que 
38.- Sea n un entero positivo. Probar que:
, donde 
es el n número de Pell,
definido por 
, 
y para 
, 
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Tenemos que 
para todo n, como se puede ver fácilmente por
inducción, por lo que 
, 
.
Tenemos además que 
,
(En la
primera desigualdad hemos aplicado
que 
es una sucesión
creciente: Para , 
, y 
).
Tenemos por
tanto 
y 
para todo n. De estas últimas desigualdades
obtenemos que 
, por lo que basta con probar que 
. Para ello, es suficiente con probar que 
para todo 
.
Pero en 
tenemos que 
, con 
.
Tenemos también que 
, por lo que el máximo de 
en es 
y entonces:
como queríamos.
39.- Sea n un número natural y f
una función convexa. Probar que 
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
La desigualdad
es equivalente a 
. El lado izquierdo de esta desigualdad es una
combinación lineal de valores de f.
Veamos que la suma de los coeficientes es 1, es decir, que 
, o equivalentemente, que 
:
(Por cada forma de tomar k elementos de los n
primeros, hay 
formas de tomar
elementos de los n últimos, luego el número de formas de
tomar k elementos de los n primeros y elementos de los n últimos es: 
. Esto nos lleva a la tercera igualdad. La identidad 
implica la última
igualdad).
Por tanto, como f es convexa, podemos aplicar la
desigualdad de Jensen y entonces 
.
Por otro lado,
es conocida la igualdad en
números combinatorios 
. Vamos a ver que 
:
, siendo esta última
igualdad cierta para todo n.
Por tanto tenemos
que 
, como queríamos.
40.- Probar la igualdad 
Solución
Podemos expresar la suma como:
Por tanto, si
sumamos por columnas obtenemos 
Esto es igual a 
. Teniendo en cuenta que 
como vimos en el
problema previo, tenemos que esta última expresión es igual a 
. Haciendo el cambio de variable 
y aplicando la
identidad , vemos que esta última expresión es igual a 
.
Tenemos por
tanto la siguiente igualdad: 
, que implica 
, como
deseábamos.