3. 4.- Otros problemas
41.- Supongamos que todo elemento x en un anillo finito R es idempotente, probar que R tiene identidad multiplicativa.
(Propuesto por
José Luís Díaz Barrero)
Solución
Como R es finito, lo podemos expresar como 
. Supongamos que 
no tiene identidad
multiplicativa, entonces para todo i, existe un 
tal que 
. Pero, como 
es idempotente,
tenemos que 
, por lo que la función 
no es inyectiva, y entonces es un divisor del 0:
En otro caso, 
, por lo que 
es inyectiva,
contradicción. Por tanto, todos los elementos de son divisores del 0.
Por otro lado, tenemos
que para todo 
, 
(La última igualdad
es porque 
es idempotente). Pero como 
es también idempotente, tenemos que 
. Esto implica que 
, luego tiene característica 2, y entonces todo
subanillo no trivial de tiene cardinal par.
Ahora, para todo
consideramos el
siguiente conjunto: 
. Como vimos antes, es un subanillo no
trivial de , por lo que tiene cardinal par. Entonces, si definimos
la relación S sobre 
, 
si 
, tenemos que existe un número impar de elementos 
en tales que , por lo que los vértices del grafo asociado a 
tienen grado impar, pero esto es imposible
ya que el grafo tiene un número impar de vértices. Por tanto, tiene una identidad multiplicativa. (El
número de vértices de grado impar en un grafo no dirigido ha de ser par. Obsérvese
que el grafo de es no dirigido ya que es simétrica, porque es abeliano: para todo i, j,
y entonces 
. Por tanto, 
)
42.- Sean 
, 
matrices
cuadradas de orden n. Probar que 
, donde las
matrices 
, 
se obtienen de , intercambiando sus
respectivas primera y k-ésima columna.
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Tenemos que 
, 
, por lo que 
, 
, y entonces 
Por otro lado, si
tenemos que 
, 
(ya que , se obtienen de , intercambiando dos
columnas), por lo que:
, y entonces 
, como queríamos ver.
43.- Sea
una
sucesión de términos positivos, 
a) Demostrar
que 
b) Demostrar
que si 
es
divergente, entonces 
es
divergente (indicación: utilizar el apartado a)
(Propuesto en la Universidad Carlos III, titulación de ingeniería de telecomunicaciones)
Solución
a) Como
es
una sucesión de términos positivos, 
es
creciente en 
,
por lo que 
b) Si llamamos
a
la sucesión de sumas parciales de ,
la parte izquierda de la desigualdad demostrada en a) es
.
Entonces, si convergiera
a 
,
sería 
,
por lo que 
.
Pero entonces aplicando la desigualdad demostrada en a) tenemos que
,
contradicción (en la segunda igualdad hemos utilizado que
es
divergente, por lo que 
.
Por tanto, al ser una
serie de términos positivos no convergente, será divergente.