3.4 III

3. 4.- Otros problemas

21.- Evaluar , donde n es un entero positivo.

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Aplicando el cambio de variable , tenemos:

, así que tenemos que resolver la segunda que no depende de n.

Para hacer la segunda integral, hacemos primero . Para ello, hacemos el cambio de variable , por lo que

(como , , por lo que , y entonces ).

Si hacemos ahora el cambio , tenemos que .

Las raíces de son , por lo que el denominador se descompone como , y entonces

Dando el valor , tenemos , dando el valor , tenemos , por lo que , y entonces

(ya que, como , , por lo que el numerador y el denominador son negativos y entonces el cociente es positivo, por lo que se puede quitar el valor absoluto).

Entonces, integrando por partes tenemos que

Para hallar esta última integral, llamamos y comprobamos que, si ponemos el origen de coordenadas en el punto medio del intervalo, es decir, en , es impar ó, lo que es lo mismo,

Esto implica que , por lo que

Y entonces

(La tercera igualdad es porque , , por lo que )

Para comprobar la igualdad , nos fijamos en que como vimos antes, por lo que

y entonces . Valorando en , tenemos que , por lo que .

Observaciones

1) es el valor medio del teorema de la media de en si cumple la condición anterior y es continua.

2) En general, se cumple que si cumple la condición anterior y es continua, ya que

, por lo que , y sustituyendo por 0 tenemos , y entonces .

3) Más en general, si una función continua cumple que

, para ciertos , para todo , entonces se cumple que : es el valor promedio integral, si

22.- Demostrar que para , con

Solución

Como es un polinomio genérico mónico de grado con raíces negativas, el enunciado es equivalente a probar que:

, siendo un polinomio mónico de grado con raíces negativas ,

Aplicamos inducción respecto : Para , se cumple que , y entonces

Supongamos que el resultado es verdad para grado , sea , definida en el dominio:

. (La función está bien definida en , ya que para ).

Vamos a evaluar en sus puntos críticos:

, así que en los puntos críticos de en , si hay, tenemos que

(Inducción: es un polinomio mónico de grado con raíces negativas , dado que tiene raíces negativas, y, para , tenemos que

, porque : las raíces de están entre las raíces de )

En la frontera , tenemos . En la frontera , tenemos que , y entonces

Además,

Por lo que tenemos que

Luego tiene mínimo 0 en , por lo que para

Observación

Como no hemos usado en ningún momento que sean positivos, tenemos el siguiente enunciado paralelo al inicial, más general:

Sea un polinomio mónico de grado con raíces reales , entonces , para

23.- Sea un polinomio mónico de grado con raíces reales , probar que para

Solución

En el problema anterior hemos visto que para

, lo que implica que la función es creciente en , y entonces , por lo que , y entonces (por lo que el primer coeficiente del polinomio es negativo si este polinomio no es el polinomio nulo)

Observaciones

1) Como consecuencia de este problema, un polinomio , con raíces negativas ,

debe satisfacer , es decir, . Un polinomio que no satisface esta desigualdad debe tener alguna raíz no negativa.

2) La desigualdad de la observación 1 lleva a , para

3) El recíproco de la observación 1 no es verdad, dado que satisface , pero tiene la raíz positiva 1.

4) Como otra consecuencia del problema, si para grande (si el coeficiente del primer término del polinomio es positivo), entonces tiene alguna raíz no real. Esto ocurre con , para el que

5) El recíproco de 4 tampoco es verdad, dado que , tiene las raíces no reales , pero no satisface para grande (el primer coeficiente de es , negativo).

24.- Para todos los enteros , ( positivo), determinar

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Tenemos que , luego

Para evaluar , observamos que, para par y ,

Entonces, como (), tenemos que , , es raíz del polinomio

Dado que es una función par, las otras raíces del polinomio son , con , luego tenemos que

Esto implica que , dado que : sabemos que

Luego sumando las dos igualdades, obtenemos , y entonces

Ahora, para tenemos que , con , luego

, y entonces

Para impar y ,

Como , (), tenemos que , , es raíz del polinomio

Dado que es una función par, las otras raíces del polinomio son , , por lo que

Esto implica que .

Ahora, como y, para , tenemos que ,

con , también en este caso:

, y entonces

Observación

Sustituyendo por en la expresión de , obtenemos , sustituyendo por en la expresión de

, obtenemos

25.- Evalúa para par

Solución

Vemos primero la relación entre , para par:

Si , toma todos los números pares de 2 a . Si , ,

donde toma todos los números impares desde hasta , luego

Ahora, tenemos que:

, por lo que

(Es claro que para n impar , ya que para , )

Observaciones

1) Para obtener , observamos que, para , , con , luego

, y entonces , luego cambiando por , obtenemos

2) Para obtener , vemos que

Por tanto, (¡Igual que !)

En la primera igualdad hemos aplicado la expresión para , que se obtenía en la observación al problema anterior, y en la última, la expresión que se obtenía en la solución del problema anterior para , cambiando por

26.- Supongamos que el polinomio puede ser factorizado como , donde son números reales positivos, es un número par. Prueba que

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Como es un número par, el enunciado es equivalente a

, para números positivos .

Si llamamos (el subíndice es porque tenemos números positivos), la desigualdad es

. Vamos a probar por inducción que esta desigualdad es cierta para todo :

Para , tenemos que , y esta última desigualdad es cierta (de hecho, el resultado es verdad en el caso para todos los números reales . La igualdad se verifica si y solo si ).

Supongamos que el resultado es verdad para , para podemos reescribir la desigualdad como

Como son números positivos, es , luego la desigualdad queda

. El lado izquierdo de la desigualdad es un polinomio de segundo grado en , llamémosle , por tanto una parábola. Si la coordenada de su vértice es , es decir, si , entonces la desigualdad se verifica para , dado que es estrictamente creciente en (el coeficiente de es ), y

La condición se verifica si . Si la coordenada del vértice es , es decir, si , tenemos que ver que no tiene dos raíces reales distintas, lo que implica que para todo número real . Por tanto, tenemos que ver que el discriminante es :

. Y esto se cumple si:

Pero la primera desigualdad es cierta (inducción), y la segunda también dado que

Observaciones

1) Para impar, tenemos que

, . Por tanto, como hemos visto que

para todo , tenemos la siguiente afirmación análoga a la inicial:

Supongamos que el polinomio puede ser factorizado como , donde son números reales positivos, es un número impar. Entonces

2) Vemos que la igualdad en estas afirmaciones se verifica si y sólo si . Para verlo, probamos que la igualdad en

, se verifica si y sólo si , para todo . Aplicamos inducción respecto a :

Para , lo vimos en la resolución del problema.

Supongamos que el resultado es cierto para . Para , como se ve en la solución del problema, la única forma de obtener la igualdad es si

Esto sólo pasa si (lo que no puede ser, ya que vimos que ), ó si .

Pero por inducción, esta última igualdad se verifica si y sólo si , y entonces la igualdad inicial queda:

, con solución:

, y entonces

27.- Encontrar el máximo común divisor de los números , , …,

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Vemos primero que, si un número primo divide a , , …, , entonces divide a luego . (La igualdad fue probada en la solución al problema 24)

Si expresamos ahora como , podemos ver que divide a para :

Como divide a , basta con probar que la potencia de 2 en es mayor ó igual que la potencia de 2 en .

Pero como las potencias de 2 las dan los factores pares, tenemos que la potencia de 2 en es igual a la potencia de 2 en

y la potencia de 2 en es igual a la potencia de 2 en . Entonces, si simplificamos por , tenemos que lo que hay que probar es que la potencia de 2 en es mayor ó igual que la potencia de 2 en .

Pero, como , tenemos que , luego divide a , y entonces la potencia de 2 en es mayor ó igual que la potencia de 2 en .

Pero, para , tenemos que no divide a , luego el máximo común divisor de , , …, es

Observación

Se sabe que divide a ( es el máximo común divisor de ). Eligiendo , este resultado implica el que hemos demostrado en la solución: Si divide a , entonces divide a

28.- Encontrar una fórmula para la potencia de 2 en la descomposición en factores primos de () y para la potencia de 2 en la descomposición en factores primos de

Solución

Primero encontramos una fórmula para la potencia de 2 en la descomposición en factores primos de :

Los factores pares de son de la forma: , con , donde es la parte entera (ya que ). Estos aportan al exponente de 2 en la descomposición en factores primos de

Contamos cuántos factores hay de este tipo para un fijo:

Como , tenemos que , por lo que , y entonces el número de factores es

Por tanto, la potencia de 2 en es

Buscamos ahora una fórmula para la potencia de 2 en :

Los factores pares de son de la forma: , con (ya que ). Estos aportan al exponente de 2 en la descomposición en factores primos de

Contamos cuántos factores hay de este tipo para un fijo:

Como , tenemos que , por lo que

si , si .

Esta última condición sólo ocurre cuando , es decir, cuando , para

Como , tenemos que , luego , y entonces el número de factores es

, si 2 no divide a , si

Por tanto, la potencia de 2 en es

, si 2 no divide a , , si

Observación

Como divide a como vimos antes, tenemos que, para todo , con , se cumple que

, donde es el exponente de 2 en la descomposición en factores primos de

29.- Sea n un entero positivo. Prueba la desigualdad

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Aplicamos inducción respecto a n: para n=1, la desigualdad es , luego es verdad.

Supongamos que es cierta para n, para n+1 tenemos (hemos aplicado la hipótesis de inducción en la desigualdad), luego acabamos si probamos que , ó lo que es lo mismo:

, es decir, .

Por tanto, si consideramos la función real , basta con probar que si x≥1 para probar la anterior desigualdad.

Pero tenemos que

El denominador de esta última expresión es positivo si x≥1. Desarrollando el numerador, obtenemos .

Vamos a ver que si x≥1:

Se cumple que si x≥1, luego P es estrictamente decreciente cuando x≥1, siendo , luego para x≥1. Por tanto, si x≥1, luego f es estrictamente decreciente cuando x≥1, y . Esto implica que si x≥1, como deseábamos.