3.4 II.htm

3. 4.- Otros problemas

11.- Encontrar todas las funciones tales que

(OME-fase local, 2005)

Solución

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas y basta despejar para acabar. Resulta

12.- Sea un entero no negativo. Demostrar que la ecuación

tiene solo soluciones enteras y determinarlas. ( representa el n-ésimo número de Fibonacci, definido por , y, para , )

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Los divisores de son posibles soluciones enteras de la ecuación. Si probamos con , obtenemos que es una solución de la ecuación, y es entera dado que es entero para todo como se puede ver fácilmente por inducción. Además, la parte izquierda de la ecuación se factoriza como:

Entonces las otras soluciones de la ecuación son las soluciones de la ecuación bicuadrada . Si resolvemos esta última ecuación para los primeros valores de , vemos que una de las soluciones positivas parece ser . Comprobamos que es una de las soluciones positivas para todo .

Para ello, obtenemos una expresión explícita para : La ecuación de recurrencia tiene como ecuación característica , con soluciones , así que la solución general de la recurrencia es . , es la única solución de la recurrencia con y , por tanto , y entonces y , por lo que

Ahora sustituimos este último valor en la ecuación bicuadrada:

Entonces, como la ecuación es bicuadrada, se cumple que , son dos soluciones enteras de la ecuación.

La otra solución positiva de la ecuación bicuadrada, llamémosla , parece ser la solución de la recurrencia de Fibonacci , con las condiciones iniciales y . Buscamos una expresión explícita para :

, y entonces y ,

Ahora sustituimos este último valor en la ecuación bicuadrada para comprobar que la satisface:

Por tanto, las otras soluciones de la ecuación son y , que son enteras dado que es entera, como puede verse fácilmente por inducción.

Observación

El número definido en la solución es el conocido como n-ésimo número de Lucas

13.- Determinar para qué valores enteros del parámetro existen soluciones enteras de la ecuación

(Propuesto en La Gaceta de la R. S. M. E.- Problema 66)

Solución

La ecuación se puede escribir como , ecuación de Fermat de grado 3, luego sólo tiene las soluciones enteras triviales y , imposible, ó y , luego es el único valor entero para el que la ecuación tiene solución entera.

Observación

No se puede dar la solución trivial , ya que entonces . Se dará esta solución racional para , valor hallado antes; es por tanto el único valor racional para el que la ecuación tiene solución racional.

14.- Resolver en los enteros positivos la ecuación

(Propuesto en La Gaceta de la R. S. M. E.- Problema 80)

Solución

La ecuación es equivalente a , luego una solución con naturales es una forma de expresar 15 como el producto de 2 números naturales, ya que si , tenemos que y , por lo que, al ser el producto positivo, se cumple que .

Como , será , luego las únicas opciones son:

, , ,

Observaciones

1) Como la ecuación también es equivalente a , el resultado nos dice que sólo hay 2 valores de tales que divida a , que son , para el que los 2 polinomios valen 5, y , para el que el primer polinomio vale 15 y el segundo 60

2) Si buscamos todas las soluciones enteras a la ecuación, tendríamos también:

, , , , , ,

, , , , ,

15.- Probar que, si es convergente y existe , entonces

Solución

Si , entonces para suficientemente pequeño tal que , tenemos que existe un número tal que, para , se cumple que , y entonces , por lo que , contradicción con que es convergente. De forma análoga podemos probar que no puede ser negativo.

16.- Probar ó buscar contraejemplos para las siguientes proposiciones:

a) Sea una función continua y tal que en para algún , y con . Entonces, existe

b) Sea una función continua y tal que en para algún , y con . Entonces, existe

c) Sea una función derivable y creciente en para algún , y con una asíntota horizontal en . Entonces, existe

d) Sea una función derivable y estrictamente creciente en para algún , y con una asíntota horizontal en . Entonces, existe

Solución

a) Es falso: Si consideramos la función:

para , , es una función bien definida,

dado que los intervalos no se solapan: , lo que se cumple para

Tenemos también que y es continua en ( es "unión de triángulos" definidos en y de altura 1):

)

Además,

Pero no existe, dado que , y

b) Es falso: Si consideramos la función:

para , , Tenemos que y es continua en , ya que es "unión" de segmentos uniendo puntos con segunda coordenada positiva:

Calculamos las áreas debajo de los tres segmentos definiendo :

El área debajo del primer ó el segundo segmento es , y el área debajo del tercer segmento es

, por lo que

, ya que todos los denominadores tienen grado al menos dos

y los numeradores son constantes.

Pero no existe, dado que , y

c) Es falso: Si consideramos la función , para la función del apartado a), tenemos que es derivable dado que es continua, y , por lo que es creciente, y , luego tiene una asíntota horizontal en , pero, al ser , el no existe.

d) Es falso: Si consideramos la función: , para la función del apartado b), tenemos que es derivable dado que es continua, y , por lo que es estrictamente creciente, y , luego tiene una asíntota horizontal en , pero, al ser , el no existe.

Observación

F se aproxima a la asíntota horizontal con infinitos cambios de convexidad:

17.- Sea una función tal que y . Probar que

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Vemos primero que existe una función cumpliendo las condiciones del enunciado.

Para ver esto, definimos primero inductivamente, para todo , una función en tal que para , si ,

Para , como es continua y Lipschitziana respecto a en (, y esta última función es acotada en R, dado que es continua y ), existe una solución de la E. D. O. en tal que , por una variación del teorema de Picard, luego definimos como esta solución.

Supongamos que hemos definido en con las condiciones requeridas, y consideramos ahora el problema de Cauchy , con .

Como g es también continua y Lipschitziana respecto a en (, y esta última función es acotada en R, dado que es continua y ), existe una solución del mencionado problema de Cauchy en , así que definimos como esta solución.

Entonces podemos definir como si .

Observamos que está bien definida, ya que , luego es continua en y, para , se cumple que

Para tenemos que

, luego tenemos también que

, para todo (para , sólo tenemos que tener en cuenta ). Además, se cumple que .

Vemos ahora que tiene límite: Como para , es estrictamente creciente en , así que tiene límite .

Integrando a los 2 lados de la ecuación inicial, tenemos que, para ,

(La desigualdad es porque es una función creciente, luego para , para ). Entonces tenemos que

Tomando límites, llegamos a

Ahora, consideramos la función .

Vemos que es estrictamente decreciente en :

Estudiar el signo de esta función para es equivalente a estudiar el signo de . Tenemos que

para , luego es estrictamente decreciente y

, por lo que para , y entonces , por lo que es estrictamente decreciente en , y entonces es estrictamente decreciente en , y entonces, dado que , tenemos que

, por lo que .

18.- Resolver el problema de Cauchy , , para , funciones derivables y positivas en

Solución

La E. D. O. es equivalente a . Tiene el factor integrante , dado que . Por tanto, la solución general es . Para encontrar , vemos que

, luego la solución general queda .

Como , tenemos que , luego la solución al problema es:

Observación

En el caso particular y , la ecuación es similar a la del problema anterior: . Según lo visto antes, la solución del problema de Cauchy es

, esto es,

En este caso, como para , tenemos que la solución es estrictamente decreciente, y su límite es : Si el límite fuera finito, tomando límites en los 2 lados de la última igualdad cuando , tendríamos , contradicción.