3. 1.-
Problemas de
21.- ¿Cuántos coeficientes no nulos
puede tener un polinomio 
si sus coeficientes
son enteros y 
para todo número
complejo 
de longitud unidad?
(2007-Primer día, Problema 6)
Solución
El polinomio puede tener 0 coeficientes no nulos, ya que 
cumple que 
, para todo número complejo de longitud unidad.
Si tiene algún coeficiente no nulo, podemos expresar como
, con 
, donde 
es el número de
coeficientes no nulos que queremos hallar, 
Podemos suponer sin pérdida de generalidad que 
, ya que si para un determinado existe un polinomio que cumple que para todo con 
, con 
, entonces tenemos que el polinomio
, cumple que 
para todo con , teniendo este polinomio 0 como exponente del último
término.
Tenemos entonces que 
. Los con son de la forma 
, con 
, luego en ellos se cumple que
Por tanto,
Luego hay que ver los valores de para los que existe un
polinomio cumpliendo las condiciones del enunciado, y con 
para todo :
Si para todo , entonces 
(se puede poner el
menor estricto, porque 
es una función
continua no constante).
Tenemos por tanto que
Entonces 
por lo que, al ser 
, necesariamente se ha de cumplir que 
y 
Vemos que puede ser 1 ó 2: El
polinomio 
cumple que 
para todo con , y el polinomio 
cumple que 
para todo con .
Vemos por último que no puede ser 3, por lo
que los únicos valores posibles son 
.
Para 
, podemos llamar 
, y 
, siendo el grado del polinomio entonces 
.
Para ver que ningún polinomio con tres coeficientes que sean 
cumple la condición
del enunciado, vemos primero que basta con demostrarlo para polinomios que
tengan más coeficientes 1 que 
: Si para todo polinomio 
con tres coeficientes
que sean y con más coeficientes
1 que se cumple que existe
un 
con 
y tal que 
, si tomamos un polinomio 
con tres coeficientes
que sean y con más coeficientes
que 1, tenemos que 
, teniendo 
más coeficientes 1 que
, por lo que existe un con y tal que 
, y entonces 
.
De entre los polinomios con 2 coeficientes 1 y un coeficiente
nos podemos quedar con
los de la forma 
y 
, ya que si para todos los polinomios de esta forma existe un
con y tal que , para un polinomio 
existirá 
con 
que cumple que
, ya que el último polinomio es de tipo 
, en vez de con 
con 
. Por tanto, basta con considerar los polinomios 
, y .
Para los primeros, existe 
con 
tal que 
, luego no cumplen la condición del enunciado.
Para los segundos polinomios, tenemos que, si 
, con par, entonces 
cumple que
Entonces, se cumple que 
.
Como 
, tenemos que 
, y como 
, tenemos que 
, al ser 
, luego 
, y 
, por lo que 
.
Si , con impar, entonces 
cumple que 
.
Entonces, se cumple que 
.
Como , tenemos que 
, y como , tenemos que 
, luego 
, y 
, por lo que .
Como los anteriores casos cubren todos los posibles valores
de mayores que , hemos encontrado en todo caso un tal que y .
Para los polinomios del tercer tipo, tenemos que si , con par, entonces cumple que
.
Entonces, se cumple que .
Como , tenemos que , y como , tenemos que , luego , y , por lo que .
Si , con impar, entonces
, cumple que
Entonces, se cumple que . Como , tenemos que , y como , tenemos que , si 
, luego , y , por lo que .
Para el caso 
, es decir, si 
, tenemos que, si 
, entonces el valor anterior:
, cumple que 
.
Entonces, se cumple que 
.
Como 
, tenemos que 
, y como 
se cumple que 
, por lo que 
, y entonces 
, por lo que .
Para los tales que 
, se cumple que
para algún 
:
Los intervalos 
son decrecientes en , y anidados, al ser 
:
Esta desigualdad es equivalente a 
, es decir
, lo que se cumple al ser , y 
(esta última
desigualdad es equivalente a 
, lo que se cumple al ser 
).
Además, el extremo superior del intervalo vale 
cuando vale 1, y los extremos
inferiores tienden a 1 cuando tiende a 
.
Por tanto, los intervalos cubren todo el
intervalo 
, y entonces efectivamente para cualquier tal que , existe algún de tal forma que .
Tomando entonces 
, tenemos que
, y entonces:
.
Esto será mayor que 4 si y sólo si 
.
Pero como tenemos que , se cumplirá que
, por lo que efectivamente:
. Entonces para los tales que también hemos
encontrado un con y tal que 
, con lo que hemos terminado.
22.- Sea 
el anillo de
polinomios con coeficientes enteros y sean
polinomios no
constantes tales que 
divide a 
en . Prueba que si 
tiene al menos 81
raíces enteras diferentes, entonces el grado de es mayor que 5.
(2008-Segundo día, Problema 4)
Solución
Sabemos que 
con 
. Así que la ecuación 
es cierta para al
menos 81 valores de 
enteros distintos.
Para esos valores de tenemos que
,
así que puesto que esa ecuación se cumple para 81 valores de enteros distintos, y para cada de esos solo hay 16 posibilidades, significa
que por el principio de las casillas, hay al
menos 6 valores de para los cuales toma el mismo
valor, lo que implica que si no es constante,
su grado es mayor que cinco como queríamos probar.
23.- Sean
,
matrices
cuadradas del mismo orden. Demostrar que si 
,
entonces 
es
nilpotente.
(2009-Segundo día, Problema 3)
Solución
La condición es equivalente a
.
Sacando factor común a en
los dos lados, vemos que a su vez esto es equivalente a que la matriz
conmute
con .
Hay que demostrar entonces que esto implica que
es
nilpotente.
Sea 
el
endomorfismo de 
tal
que 
.
Se puede establecer una biyección entre
y
.
Sería 
(es
decir, a se
le asigna 
,
donde 
está
expresado en la base canónica de .
La inversa sería 
).
Entonces, si las aplicaciones de 
cumplen
que 
es
nilpotente (es decir, que 
para
cierto 
),
entonces las matrices de 
cumplen
que es
nilpotente (ya que entonces 
,
al ser la matriz asociada a la composición el producto de las matrices asociadas
y la matriz asociada a la diferencia la diferencia de las matrices asociadas a
dos endomorfismos en las mismas bases).
Por otro lado, si
es
la base en que la matriz asociada a es
la forma canónica de Jordan 
,
entonces existe una biyección de 
a
,
que sería 
(es
decir, a se
le asigna ,
donde está
expresado en .
La inversa sería 
).
Por tanto, si las matrices de 
cumplen
que 
es
nilpotente (es decir, que 
para
cierto ),
entonces las aplicaciones de cumplen
que es
nilpotente, ya que si 
está
referido en la base ,
.
Podemos por tanto suponer sin pérdida de generalidad que
.
La matriz puede
tener cajas diagonales
con los elementos de la diagonal distintos 
ó
escalares
con los
elementos de la diagonal iguales, ó 
.
Como tiene ceros fuera de las cajas,
tendrá
ceros fuera de las posiciones de esas cajas, luego basta con ver cómo es
en
las posiciones de las cajas.
Para las cajas del primer tipo, tenemos que
Entonces:
Por otro lado,
Entonces, para
que las dos matrices sean iguales ha de ser
.
Como
si
,
para que se cumpla el sistema ha de ser
para
todo ,
por lo que 
es
diagonal y conmuta entonces con 
,
teniéndose que 
,
y entonces su polinomio característico es
Si
es
una caja del segundo tipo, entonces al ser escalar toda matriz
conmuta
con ella, y entonces ,
siendo su
polinomio característico .
Para las cajas
del tercer tipo, tenemos que 
Por lo que
Por otro lado,
Entonces, para que las dos matrices sean iguales ha de ser
.
De la primera
línea obtenemos que 
para
todo 
.
Sustituyéndolo en las ecuaciones 3,…,
,
obtenemos que 
para
todo 
.
Tenemos además
las ecuaciones 
,
y
,
Utilizando la
segunda ecuación del sistema, las ecuaciones del primer tipo para
,
,
y la del segundo tipo con 
,
obtenemos el nuevo sistema 
,
de matriz de coeficientes
.
Si llamamos a su determinante 
,
desarrollando por la primera fila y luego por la primera columna tenemos que
,
es decir, 
.
Esta ecuación de recurrencia tiene como ecuación característica
,
de solución 
(doble),
por lo que su solución general es 
.
Como 
,
sumando las 2 ecuaciones tenemos que
,
y sustituyéndolo en la primera obtenemos que
,
por lo que 
,
y entonces la única solución al sistema es
para
,
por lo que 
y
entonces si
,
si
.
Si
para
todo 
si
,
,
entonces usando las ecuaciones del sistema inicial tenemos que, si
,
,
al ser 
,
,
(inducción).
Por tanto, 
si
para
.
Como la matriz 
tiene
todos los elementos por encima ó en la diagonal de la forma
con
,
entonces tiene
todos los elementos por encima ó en la diagonal iguales a 0,
por lo que su polinomio característico será
.
Para las cajas
del cuarto tipo, tenemos que 
Por lo que
Por otro lado,
Entonces, para que las dos matrices sean iguales ha de ser
.
De la primera
línea obtenemos que para
todo 
.
Sustituyéndolo en las ecuaciones 3,…,
,
obtenemos que para
todo 
.
Tenemos además
las ecuaciones ,
y
,
De esta
información y la segunda ecuación del sistema, obtenemos que
si
para
,
como vimos para el tercer tipo de caja. Esto implica que la submatriz formada
por las 
primeras
filas y columnas de tiene
todos los elementos por encima ó en la diagonal nulos, teniendo la submatriz
formada por las 
últimas
filas y columnas de todos
los elementos por debajo de la diagonal nulos. Por tanto, si desarrollamos el
determinante que da el polinomio característico de
por
las primeras
filas, llegamos a 
,
donde 
es
una matriz triangular de orden con
en
la diagonal principal, por lo que su determinante es
,
y entonces el polinomio característico de
es
Juntando todos
los casos, tenemos que 
tiene
de polinomio
característico 
(ya
que el determinante que da el polinomio característico se hace por cajas, siendo
los determinantes de esas cajas de la forma
porque
así eran los polinomios característicos correspondientes), y entonces por el
teorema de Cayley-Hamilton tenemos que
como
queríamos