2.
6.- Algunos resultados de teoría de números y números complejos
En esta subsección no haremos un desarrollo teórico, sino que
daremos sólo tres ejemplos, de los que se extraen la utilidad de algunos
conceptos de la teoría de números como la divisibilidad, ó de las propiedades
de los números complejos:
Estamos en una isla desierta en la
que sabemos que un antiguo pirata enterró un tesoro. No sabemos en qué lugar de
la isla lo enterró, pero tenemos un mapa en el que nos indican la ruta que
debemos seguir para encontrarlo. En la isla del tesoro hay un pino P y un abeto A. Si trasladamos todo el terreno, con el tesoro incluido, de
manera que P ocupe la posición de A, a continuación giramos 90º con centro
en P y sentido contrario al de las
agujas del reloj y finalmente giramos otros 90º con centro en A en el mismo sentido, el tesoro
permanece en el mismo lugar del principio. Encuentra el tesoro.
(Propuesto en
[3])
Claramente hemos de encontrar un punto que permanezca
invariante después de todas las transformaciones.
Coloquemos el origen en el punto P, y el eje x en la dirección PA,
y normalicemos el problema de modo que A=(2,0).
Sea z un complejo cualquiera. Transformemos z según los movimientos descritos
en el enunciado:
La traslación de vector 
transforma z en
z+2. Girar con centro P y ángulo
90º transforma z+2 en (z+2)·i, y si
ahora trasladamos el origen a A,
giramos 90º y deshacemos el cambio de origen queda (z+2)·i transformado en
((z+2)·i-2)·i+2 y si z permanece invariante eso tiene que ser igual a z, y la
única solución de la ecuación es z=-i, luego el tesoro se encuentra en el punto
(0,-1) del sistema de referencia.
Sabiendo
que 
y 
,
expresar el número 
como suma de dos cuadrados.
(Propuesto
en [2])
Sea z=2+3i y w=5+7i. Entonces:
Probar que 2003 no puede ser expresado
como suma de dos cuadrados perfectos.
Supongamos que sí. Entonces,
2003=
.
Sabemos que 2003 da de resto
3 al dividirlo entre 4 (es congruente con 3 módulo 4). Entonces tiene
que dar el mismo resto al dividirlo entre cuatro.
Veamos qué resto dan al
dividir entre cuatro los cuadrados perfectos:
Si a da de resto 0 al dividir entre cuatro, 
también
dará resto cero al dividir entre cuatro.
Si a da de resto 1, a=4a’+1, y =16
+8a’+1 que también
da de resto 1 al dividirlo por 4.
Igualmente se puede deducir
que si a da de resto 2 ó 3 al
dividirlo por 4, da de
resto 0 ó 1 respectivamente al dividirlo entre cuatro. Por tanto y
dan
de resto 0 ó 1 al dividirlos entre cuatro y es imposible que su suma dé resto 3
al dividirlo entre cuatro, contradicción.
Observación
Un resultado de Euler, respondiendo a una conjetura de Fermat, es que un
número natural se puede expresar como suma de dos cuadrados si y sólo si no
tiene ningún factor primo congruente con 3 módulo 4, con exponente impar.
Esto se puede aplicar a los
dos problemas anteriores: 2003 es un primo congruente con 3 módulo 4, luego no
se puede expresar como suma de dos cuadrados; 
, con 2, 13, 37 no congruentes con 3
módulo 4, luego se puede expresar como suma de dos cuadrados, y el problema 2
de esta subsección da una forma de hacerlo.