2.
3. Ecuaciones Funcionales
Las ecuaciones funcionales son ecuaciones en las que tenemos
una relación entre una función en un punto ó en varios, y sus derivadas ó
sucesivas evaluaciones.
Pondremos varios ejemplos para que se puedan ver distintas formas
de abordar un problema de este tipo:
Encontrar todas las funciones 
tales que 
(Ecuación Funcional de Cauchy)
Para empezar, como tenemos x
e y podemos probar a hacer algunas sustituciones con números.
Lo primero de todo, llamemos 
. Entonces es fácil ver que con 
, obtenemos:
Ahora que sabemos los valores de 
, podemos probar
con 
:
Parece evidente que si 
, se cumplirá que 
para todo 
, así que intentemos probarlo por inducción.
Así que todas las funciones
posibles son 
Observación
Las
funciones 
que cumplen que son también 
, ya que, sea
con 
, se cumple que
, por lo que 
(tenemos que
, porque 
. Se cumple que 
)
Hallar todas las funciones 
tales que
.
Sustituyendo x por y obtenemos que:
Encontrar todas las funciones 
tales que 
(OME-fase nacional 2001)
Supongamos que existe una función tal que .
Entonces, si
, se cumple que
Por lo que tenemos que 
, y además 
Pero entonces, haciendo 
en la primera igualdad
y 
en la segunda, tenemos
que 
, por lo que 
, contradicción con que 
.
Por tanto, no existe ninguna función que cumpla las
condiciones del enunciado.