Números complejos. Forma polar. Fórmula de De Moivre. Operaciones con número complejos. Curvas y regiones en el plano complejo.
Tema 2. Funciones complejas de una variable compleja.
Función compleja. Límite. Derivada. Condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas. Funciones elementales: función exponencial, función logaritmo, funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas.
Tema 3. Funciones analíticas.
Series de potencias. Radio de convergencia de una serie de potencias.Suma y producto de series de potencias. Diferenciación término a término de una serie de potencias. Integración término a término. Series de Taylor. Funciones analíticas. Series de Taylor de funciones elementales. Series de Laurent.
Tema 4. Integración curvilínea.
Integral curvilínea. Definición. Propiedades básicas. Teorema integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy.
Tema 5. Singularidades y residuos.
Singularidades. Polos. Singularidades esenciales. Residuos. Teorema de los residuos. Evaluación de integrales reales.
Tema 6. Transformaciones conformes.
Transformaciones complejas. Transformaciones conformes. Transformaciones bilineales o de Möebius. Propiedades.
Tema 7. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Introducción. Ecuaciones de variables separadas. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones lineales de primer orden. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Riccati. Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes. Aplicaciones. Trayectorias ortogonales.
Tema 8. Existencia y unicidad de soluciones.
Problema de Cauchy o de valor inicial. Teorema de Cauchy-Peano o teorema de existencia de Peano. Teorema de Picard-Lindelöf.
Tema 9. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.
Ecuaciones lineales homogéneas de orden n. Ecuaciones lineales no homogéneas. Método de variación de las constantes. Ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes. Método de los coeficientes indeterminados. Ecuaciones lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler. Soluciones en serie de potencias de ecuaciones lineales.
Tema 10. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Sistemas lineales homogéneos. Matriz fundamental. Sistemas lineales no homogéneos. Método de variación de las constantes. Sistemas lineales homogéneos de coeficientes constantes. Método de los coeficientes indeterminados.
Tema 11. Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace. Transformada inversa. Linealidad. Transformada de Laplace de derivadas e integrales. Primer teorema de traslación. Función de Heaviside. Segundo teorema de traslación. Diferenciación e integración de transformadas. Convolución. Aplicaciones. Delta de Dirac.
Tema 12. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales de un paso.
Introducción. Método de Euler. Métodos numéricos de un paso. Convergencia. Métodos de Taylor y de Runge-Kutta.
Tema 13. Métodos lineales de varios pasos.
Interpolación. Métodos de Adams-Bashforth y de Adams-Moulton. Convergencia. Estabilidad. Esquemas predicción-corrección.
Tema 14. Problemas de contorno.
Espacios métricos. Espacios vectoriales normados. Espacios de Hilbert. Series de Fourier. Problemas de contorno. Teorema de alternativa. Autovalores y autofunciones. Función de Green.