3. 3.- Problemas de la OCMU
1.- Sean x1
, ... , xn vectores no
nulos de un espacio vectorial y 
una transformación
lineal que satisface:
(xi)
= x1 + x2 + ...
+ xi ,
i = 1, .... , n.
Demostrar que los vectores x1
, ... , xn son linealmente
independientes.
(10/12/1997-Problema
2)
Solución
Lo demostramos por inducción sobre n = número de vectores:
Si n=1, entonces,
como el vector 
es no nulo, es
linealmente independiente (l. i.). Lo suponemos cierto para 
vectores que cumplan
las condiciones.
Sean n vectores ,..., 
no nulos que cumplen
las condiciones, entonces existe una aplicación lineal que cumple que 
,..., 
, por lo que ,..., 
son l. i. (hipótesis
de inducción). Por tanto, si ,..., son linealmente
dependientes, será el que dependa de los
demás, es decir, 
, por lo que, al ser lineal, se cumplirá
que
Por otro lado, 
, por lo que igualando tenemos que
.
Entonces tenemos expresado como
combinación lineal de ,..., de dos formas
distintas, ya que el coeficiente de en la primera forma es
, y en la segunda es 
, contradicción con que ,..., son l. i. Por tanto, ,..., son l. i.
2.- Una elipse es reflejada en una
recta tangente a ella. La imagen de esta reflexión gira sobre la elipse original
(que permanece fija) sin deslizarse. Determinar el lugar geométrico de los
focos de la elipse que está rotando.
(10/12/1997-
Problema 3)
Solución
Si la elipse inicial la consideramos centrada en el origen y
de semiejes 
, 
, entonces su ecuación es 
(si tomamos 
). La elipse que queda al girar la elipse reflejada sobre
ésta es simétrica con ésta respecto a su recta tangente, y sus focos serán
simétricos a los de esta elipse respecto a la recta tangente. Los focos de esta
elipse son 
, 
, y su recta tangente en un punto genérico de ella 
es 
. Para hallar el simétrico respecto a esta recta de un punto
cualquiera 
, cogemos la recta perpendicular a esta tangente que pasa por
, 
, y hallamos su punto de corte con la tangente:
, por lo que
Y sustituyendo en la ecuación de la tangente queda la 
del punto de corte,
siendo éste
Entonces el simétrico de respecto la tangente
es el simétrico de respecto a este punto
de corte 
, que será 
, quedando
En uno de los focos 
y 
, luego sustituyendo en el punto anterior nos queda que su simétrico
será
, con 
Como 
es un punto de la
elipse, se cumplirá que 
(suponemos 
), luego sustituyéndolo en el punto anterior, nos queda
, con 
Ésta es entonces la curva que traza el primer foco, siendo 
el parámetro de la
curva (
y 
son fijos, son los
semiejes de la elipse inicial). Para los puntos con 
trazará la simétrica a
esta curva respecto al eje OX. El otro foco es igual, sólo que 
. Sustituyéndolo en la ecuación del simétrico y haciendo los demás
cálculos igual, nos da la curva
Y como antes su simétrica respecto al eje OX.
Observación: Estas curvas son también elipses. En concreto,
si 
, 
quedan las siguientes
curvas que describen los focos:
Que son elipses de semiejes 4, 2, el doble que los de la
elipse inicial
(Cálculos hechos con ayuda del programa Mathematica).
3.- Hallar las soluciones de la
ecuación: 32x + 3x = 90
(10/05/1999-Problema 1)
Solución
Se cumple que:
(Cogemos sólo la solución positiva porque 
). Entonces 
.
4.- La víctima de un accidente morirá
a menos que reciba en los próximos 10 minutos una transfusión de sangre tipo A-Rh positivo. Se dispone de gran número de donantes de los
cuales sólo se sabe que el 40% tienen sangre de ese tipo. Se necesitan dos
minutos para determinar el tipo de sangre del posible donante y dos minutos
para realizar la transfusión. ¿Cuál es la probabilidad de que se salve si el
hospital dispone de un sólo equipo de tipificación de sangre?
(10/05/1999-Problema 2)
Solución
Como tienen 2 minutos para analizar la sangre de cada donante
y 2 minutos para hacer la transfusión y en total disponen de 10 minutos, se
salvará si el cuarto donante ó alguno de los anteriores tienen sangre A-RH+.
Entonces si llamamos 
al suceso “el
individuo 
que se analiza tiene
sangre A-RH+”, entonces
, siendo 
el suceso “el
individuo que se analiza no
tiene sangre A-RH+”. Como los sucesos son independientes, ya que la
probabilidad de que uno no tenga sangre A-RH+ no se ve afectada por el hecho de
que los otros analizados la tengan ó no, la probabilidad de la intersección es
el producto de las probabilidades, por lo que:
(Ya que el 
tienen sangre A-RH+,
por lo que 
).
5.- Un punto se está moviendo en una
recta de tal forma que su velocidad media para cualquier intervalo de tiempo es
igual a la media aritmética de las velocidades de los extremos del intervalo.
Demostrar que el punto se está moviendo con una aceleración constante.
(10/12/1997-Problema
5)
Solución
La condición es que 
, para todo , con 
. Entonces, variando el punto tenemos que 
para todo 
. Derivando a los 2 lados respecto a 
, tenemos que
Derivando otra vez respecto a , tenemos que
, por lo que 
, y entonces 
es constante.
6.- Llamaremos número 10-ádico a una sucesión infinita de cifras decimales
...an...a1a0.
Los números 10-ádicos se pueden sumar,
restar y multiplicar por las mismas reglas que para los números naturales muy
grandes. Por ejemplo
...1997 + ...0129 - ...0129 x
...8132
...8132 ...1997
-------
------- -------
...0129
...1997 ....903
....61
....1
-------
....613
a) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
x2-x=0 en los números 10-ádicos?
b) Encontrar la suma de todas las
soluciones de esta ecuación.
(10/12/1997-Problema
7)
Solución
a) La ecuación 
tiene como soluciones
reales 
y 
, que en números 10-ádicos dan 
y 
. Por otro lado, para que el cuadrado de un número
10-ádico 
sea él mismo, se debe
cumplir que
sea
igual que él mismo, para lo que se debe cumplir que 
(es decir, que 
acabe en la misma
cifra que 
). Las únicas cifras que cumplen esto son 
. La única solución que acaba en 0 es la ya hallada : Si existe una solución que acaba en 0 con alguna cifra no
nula, sea 
la primera cifra no
nula, entonces el número es 
, por lo que
Y entonces 
, contradicción.
La única solución que acaba en 1 es la ya hallada : Si existe una solución que acaba en 1 con alguna cifra no
nula aparte del 1, sea la primera cifra no
nula aparte del 1, entonces el número es 
, por lo que
Entonces, para que el cuadrado del número sea él mismo, se
debe cumplir que
, es decir, que 
, por lo que , contradicción. Vemos que sólo hay una solución que acabe en
5: La cifra n-ésima del cuadrado del número 
es
(Donde en cada término
está incluido lo que te llevabas de la operación anterior, por ejemplo, en 
está incluido lo que
te llevabas de 
)
Como 
, se cumple que
.
Entonces, para que la cifra n-ésima sea igual en los 2 números, se ha
de cumplir que 
, lo que da una única solución .
Vemos que también hay una única solución que acaba en 6: La
cifra n-ésima
del cuadrado del número 
es
(Donde en cada término está incluido lo que te llevabas de la
operación anterior, por ejemplo, en 
está incluido lo que
te llevabas de 
)
Como 
, se cumple que
.
Entonces, para que la cifra n-ésima sea igual en los 2 números, se ha
de cumplir que
Lo que da una única cifra solución 
. Por tanto hay 4 soluciones a la ecuación.
b) Para hallar su suma vemos que el número que acaba en 5 y
el que acaba en 6 suman 
. Para ello, si llamamos 
al número que acababa
en 5, vemos que 
acaba en 6: 
y además cumple que
(La penúltima igualdad
es porque ). Entonces el cuadrado de es él mismo, luego es la solución que
acaba en 6, y entonces 
. Como 
, la suma de las 4 soluciones es 
. (En los números 10-ádicos, como
en los números normales, todo número tiene su opuesto 
que sumado a él da 
: no hay más que aumentar las cifras de lo justo para que den
0, y se cumple también la propiedad distributiva, luego se puede desarrollar 
).
7.- Sea a1, a2,
a3, a4, a5, a6
una progresión geométrica de razón r. Si a1 + a2
+ a3 + a4 + a5
= 3124, y a2 + a3 + a4
+ a5 + a6 = 2343, hallar r y a3.
(10/05/1999-Problema 3)
Solución
Si a la razón de la progresión geométrica la llamamos 
, se cumple que 
.
Entonces 
.
Por otro lado, como 
,
. Igualando las 2 ecuaciones, tenemos que
.
Sustituyéndolo en la primera ecuación, tenemos que
. Entonces 
.
8.- Para la construcción de una pista
circular de patinaje sobre hielo, se tienen las propuestas de dos empresas. La
empresa A cobra $40 por m2 de pista, $30 el metro de cerco y
un adicional fijo de $400 para gastos generales. La empresa B cobra $36
por m2 de pista, $40 el metro de cerco y un adicional fijo de $1200.
¿Para qué valores del diámetro de la pista es más ventajoso contratar a la
empresa A?
(10/05/1999-Problema 4)
Solución
Lo que cobra la primera empresa es 
, y lo que cobra la segunda 
. Para que sea más ventajoso contratar a la primera empresa,
ha de ser
La ecuación 
tiene como soluciones
, luego la inecuación tiene como solución 
.
Como 
, lo de la izquierda de es negativo, por lo
que al ser un radio, y por tanto
positivo, siempre se cumplirá que 
. Entonces será más ventajoso contratar a la primera empresa
cuando 
, es decir, cuando el diámetro sea menor que 
.
9.- ¿Cuál es la probabilidad de que
las fechas de nacimiento de 4 personas tomadas al azar correspondan todas a dos
meses cualesquiera del año quedando exactamente 10 meses libres? (Suponer que
todos los meses tienen la misma probabilidad.)
(10/05/1999-Problema 5)
Solución
La probabilidad de que hayan nacido las 4 personas en, por
ejemplo, Enero y Febrero es
(ya
que son sucesos disjuntos, luego la probabilidad de la unión es la suma de las
probabilidades).
Se cumple que:
(Ya que son sucesos independientes, luego la probabilidad de la
intersección es el producto de las probabilidades. La probabilidad de nacer en
cualquier mes es 
, ya que los 12 meses tienen la misma probabilidad). Se puede
ver de forma análoga que la probabilidad de cada uno de los otros 2 sucesos
también es 
, luego
Habrá la misma probabilidad de que los 4 hayan nacido en
otros 2 meses del año.
Como el número de formas de tomar 2 meses de los 12 del año
es
, se cumple que
10.- Sean x y d números
naturales tales que el resto de dividir x por d es igual a 4 y el
resto de dividir 14x por d es 17. Hallar el resto de dividir 210x
por d.
(10/05/1999-Problema 7)
Solución
Como el resto de dividir entre 
es 4, se cumple que 
. Como el resto de dividir 
entre es 17, se cumple que 
. Sustituyendo el de la primera
congruencia en la segunda, queda que 
. Como el divisor es siempre mayor que el resto y el resto de
dividir entre es 17, se cumple que 
y 
. Entonces para hallar el resto de dividir 
entre 39, hacemos la
congruencia de módulo 39: 
(ya que al dividir 840
entre 39 da de resto 21). Por tanto, el resto de dividir entre 39 es 21.
11.- Encontrar el máximo valor que
puede tomar el siguiente determinante, si se sabe que cada una de sus
componentes es alguno de los números reales 0 ó 1:
(30/08/2001-Problema 1)
Solución
Es fácil ver que podemos conseguir
que el determinante dé 2, bastaría elegir la matriz:
. Veamos que es imposible que el determinante sea
mayor que 2. Es obvio que el valor absoluto del determinante sólo puede valer
0, 1, 2 ó 3. Tenemos que demostrar entonces que es imposible que tome el valor
3. Supongamos que lo tomara. Entonces:
,
y necesariamente 
y para ello todos los 
, así que el determinante daría 0 en contra de lo supuesto.
Por tanto el valor máximo es 2.