(a) Los números naturales,
enteros y racionales. Principio de inducción. Necesidad de los números reales.
(b) Introducción axiomática de
los números reales.
(c) La propiedad arquimediana y
sus consecuencias.
(d) El valor absoluto o módulo.
Intervalos.
(e) Compactificación de R.
Indeterminaciones.
(f) Los números complejos.
Módulo y argumento. Representación binómica y polar. Suma, resta,
multiplicación y división. Potencias y raíces.
(a) Función. Dominio. Gráfica e
imagen. Las funciones elementales: Valor absoluto, polinómicas, racionales,
circulares e hiperbólicas.
(b) Operaciones con funciones.
Composición de funciones. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, La
función inversa. Inversas locales.
(c) Límite en un punto. Límites
laterales. Límites en los extremos del intervalo. Límites en el infinito.
(d) Operaciones con límites.
Casos indeterminados.
(e) Continuidad y
discontinuidades. Comportamiento con las operaciones algebraicas y con la
composición.
(f) Continuidad global. Teoremas
de Bolzano y Weierstrass. Cálculo aproximado de raíces de polinomios.
(g) Funciones monótonas.
(a) Derivada de una función en
un punto. Derivadas laterales. Recta tangente. Derivabilidad y continuidad.
(b) Función derivada. Derivadas
sucesivas. Funciones de clase C(k.
(c) Derivada de las funciones
compuesta e inversa. Aplicaciones
(d) Teoremas de Rolle y del
valor medio. Regla de L’Hôpital.
(e) Aproximación polinómica:
Teorema de Taylor. El resto. Aplicaciones a la realización de cálculos
aproximados y al cálculo de límites. Equivalencias.
(f) Estudio local de una
función: Extremos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad, puntos
de inflexión.
(a) Integral de Riemann.
Integrabilidad de funciones continuas y monótonas.
(b) Teoremas del valor medio.
(c) Función integral. Regla de
Barrow. Cálculo de primitivas.
(d) Métodos aproximados:
Trapecio y Simpson.
(e) Integrales impropias y
Eulerianas.
(f) Aplicación al cálculo de
áreas, longitudes y volúmenes. Integración por secciones. Los teoremas de
Pappus.
(a) Sucesiones y series
numéricas.
(b) Sucesiones y series de
funciones.
(c) Series de potencias. Radio
de convergencia. Integración y derivación. Series de Taylor. Desarrollo en
series de potencias.
6. Funciones
de varias variables
(a) Los espacios R2 y R3. Coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y
esféricas. Norma en R2 y R3 y su comparación con el
módulo en R. Idea sobre Rn.
(b) Funciones de R a Rn.
i.
Derivada. Gráfica e imagen.
ii.
Curvas en R3. Longitud
de arco. Triedro de Frenet. Curvatura y
torsión. Curvas planas.
(c) Funciones en Rn a R.
i.
Gráfica y conjuntos de nivel. Superficies. Superficie como conjunto de nivel
de otra
función de Rn+1 en R.
ii.
Límites y continuidad. Derivadas parciales. Plano tangente. Gradiente. Normal a
una superficie. Derivadas direccionales.
iii.
Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Polinomio de Taylor.
iv.
Extremos locales y absolutos. Extremos condicionados: los multiplicadores de
Lagrange.
(d) Funciones en Rn
a Rm.. Límites, continuidad y derivabilidad parcial. Matriz
Jacobiana. Regla de la cadena. Teoremas de la función inversa e implícita.
(a)
Integral doble
sobre un rectángulo. Teorema de Fubini. Integral doble sobre regiones no rectangulares.
(b) Integrales triples.
(c) El cambio de variable:
Jacobiano. Cálculo del Jacobiano para los cambios de variable habituales.
(d) Areas, volúmenes, centros de
gravedad y momentos de inercia.