Métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales: Instrucciones

El pvi que hemos considerado es:

Es un problema bien propuesto y por tanto tiene una única solución . Nuestro objetivo es obtener un valor aproximado de la solución en el punto x = 1. En el problema que presentamos no se puede obtener la solución exacta a través de procedimientos de integración elemental, por tanto es necesario aplicar algún método numérico para obtener un valor aproximado de . En este caso, no podemos calcular exactamente los errores que cometemos al aplicar una determinada fórmula, pero sí podemos obtener la solución con el grado de aproximación que necesitemos tomando un tamaño adecuado de la longitud de paso h .

Utilizamos como herramienta básica una hoja de cálculo de Excel. Consideramos distintas longitudes de paso (tendiendo a cero) con el fin de comprobar la convergencia de cada uno de los métodos utilizados. Al aplicar fórmulas con distintos órdenes de convergencia podemos también comparar la rapidez de convergencia de los distintos métodos. La utilización de las tablas Excel permite al alumno comprender mejor los conceptos teóricos de convergencia y orden de consistencia de un método numérico.

Calculamos en primer lugar las ecuaciones en diferencias que resultan de aplicar los métodos anteriores al pvi. propuesto: Así, por ejemplo, con el método de Euler se obtiene la ecuación:

y con el de Euler Mejorado la ecuación que resulta es

A continuación, con ayuda de una hoja Excel podemos construir fácilmente una tabla que nos proporcione los valores aproximados obtenidos al aplicar los distintos métodos con diferentes longitudes del paso h . Para ello, es recomendable tener en cuenta las siguientes consideraciones:

- Al expresar en una de las celdillas la fórmula del método a emplear, o bien pinchando en la misma y arrastrando a celdillas adjuntas, o bien copiando y pegando, aquellos valores de celdillas con posición relativa a la que estamos utilizando se modificarán automáticamente por el programa. Si queremos que uno de estos valores no lo modifique sino que quede constante será suficiente con usar el símbolo $ (ejemplo: $C9).

- Para modificar la forma de la celda, y dar aspecto estético de tablas, pinchamos clik derecho en la celdilla, formato de celdas, y realizamos las modificaciones oportunas.