Métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales:

Introducción

Muchos de los problemas que realmente se presentan en la ingeniería no se pueden resolver directamente, puesto que sólo algunos tipos de ecuaciones diferenciales admiten soluciones en términos de funciones elementales. Las ecuaciones diferenciales aparecen en el diseño de modelos matemáticos de los fenómenos físicos, técnicos, químicos, biológicos, etc. Sin embargo, hasta la segunda mitad del siglo XX eran escasas las ecuaciones diferenciales que se podían resolver de manera explícita.

Es posible modelar mediante una ecuación diferencial la distribución de temperaturas de un sólido, la velocidad de partículas en un fluido, las tensiones de un cuerpo que se deforma, el flujo alrededor del ala de un avión, el impacto de un automóvil contra un obstáculo, el crecimiento de especies animales con presas y depredadores o la evolución del precio de un artículo en el mercado financiero.

La simulación numérica de estos fenómenos tan diferentes permite rentabilizar esfuerzos y mejorar los costes que la experimentación real originaría. En consecuencia, siempre que no sea posible obtener una solución exacta, (por ejemplo: y' = x 2 + y 2 ) o cuando ésta tenga escaso interés, o sea demasiado complicada de conseguir, o aparezcan integrales que no sean elementales (por ejemplo: y'' + sen y = 0), o cuando su cálculo resulte engorroso (por ejemplo: y' = y 4 + 1), está indicado recurrir a estos métodos, que proporcionen valores numéricos de la solución con una aproximación adecuada, en un determinado conjunto de puntos. Incluso cuando sea posible encontrar la solución en términos de funciones elementales o en desarrollo en serie puede ser que la evaluación numérica de la función o el truncamiento de la serie conduzcan a una peor calidad que un método aproximado.

La forma de proceder es buscar una solución aproximada a la ecuación diferencial mediante el uso de un ordenador, utilizando para ello alguno de los métodos numéricos que se conocen, que tienen en nuestros días un desarrollo extraordinario tanto por su número como por sus posibilidades de cálculo, debido al progreso de los ordenadores. Estos métodos se utilizan en la actualidad para resolver las ecuaciones diferenciales en la teoría de los proyectiles balísticos y satélites artificiales, en redes eléctricas, elasticidad de vigas, estabilidad de aviones y teoría de vibraciones, entre otras.

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Excel para Métodos Numéricos.